Interaktyvus pratimas nr. 10. Skirstiniai

Šiame interaktyviame pratime nagrinėsime diskrečiųjų ir tolydžiųjų skirstinių pavyzdžius. Priminsime, kad diskrečiųjų atsitiktinių dydžių reikšmių aibė yra baigtinė arba skaičioji, o tolygiųjų atsitiktinių dydžių reikšmės priklauso tam tikram intervalui

. Tolydaus atsitiktinio dydžio atveju vienas iš rėžių (a ir b) arba abu gali būti ir begaliniai.

Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių pavyzdžiai:

Iškritusių taškų skaičius ant simetrinio lošimo kauliuko;
Vaikų skaičius klasėje;
Krepšininko pataikytų baudų skaičius;
Telefono skambučių valandos laikotarpyje skaičius.

Tolydžiųjų atsitiktinių dydžių pavyzdžiai:

Žmogaus ūgis;
Tiesės atkarpos ilgis;
Vandens telkinio gylis atsitiktinėje telkinio vietoje;
Įmonės akcijų grąža.

Kiekvienam skirstiniui nagrinėsime dvi svarbias funkcijas, kurios apibrėžia skirstinį: tankio funkciją

(diskrečiuoju atveju - tikimybės išraišką

) ir skirstinio funkciją

Diskretieji skirstiniai

Binominis skirstinys

Žymėjimas:

;

Parametrai: bandymų skaičius n ir sekmės tikimybė p.

Tikimybės išraiška:

Skirstinio funkcijos išraiška:

Pavyzdys: Ant simetriškos monetos iškritusių herbų skaičius, kai moneta metama 15 kartų. Parinkite parametrus taip, kad matytumete šio atsitiktinio dydžio tikimybių lentelės ir skirstinio funkcijos grafinę interpretaciją.

Keiskite parametrus n ir p ir stebėkite, kaip atrodo abiejų išraiškų grafikai.

n = 13;

p = 0.55;

x = 0:0.01:20;

pr = binopdf(floor(x), n, p);

plot(x, pr);

binf = binocdf(floor(x), n, p);

plot(x, binf)

Puasono skirstinys

Žymėjimas:

;

Parametras: vidurkis ir dispersija

Tikimybės išraiška:

Skirstinio funkcijos išraiška:

Vienas iš Puasono skirstinio taikymų yra susietas su paprasčiausio srauto sąvoka. Tokio srauto pavyzdys yra telefono skambučių per tam tikrą laikotarpį t skaičius. Intuityviai galime suprasti, kad atskiri laiko intervalai yra nesusieti tarpusavyje ir nedaro jokios įtakos kitiems laiko intervalams. Be to šis skaičius priklauso tik nuo laiko intervalo ilgio, o skambučiai yra fiksuojami po vieną. Tokia ir yra paprasčiausio srauto esmė, o tikimybės išraiška atrodo taip:

Apie kitą Puasono skirstinio taikymą - rėtų įvykių dėsnį kalbėjome paskaitos metu.

Keiskite Puasono skirstinio parametrą λ ir stebėkite, kaip atrodo tikimybių ir skirstinio funkcijos grafikai.

lambda = 3.1;

x = 0:0.01:20;

pr = poisspdf(floor(x), lambda);

plot(x, pr);

poif = poisscdf(floor(x), lambda);

plot(x, poif)

Hipergeometrinis skirstinys

Žymėjimas:

;

Parametrai: populiacijos dydis N, ypatingų individų skaičius M, atrinktų individų skaičius n.

Tikimybės išraiška:

Skirstinio funkcijos išraiška:

Pavyzdys: Konkrečios spalvos kortų pasidėstymas pas oponentus bridžo žaidime (žr. video paskaitą)

Keiskite skirstinio parametrus ir stebėkite, kaip atrodo abiejų išraiškų grafikai. Atsiminkite, kad

N = 0;

M = 0;

n = 0;

x = 0:0.01:20;

pr = hygepdf(floor(x), N, M, n);

plot(x, pr);

hyf = hygecdf(floor(x), N, M, n);

plot(x, hyf)

Tolydieji skirstiniai

Normalusis skirstinys

Žymėjimas:

(pagal susitarimą

);

Parametrai: vidurkis m ir standartinis nuokrypis σ (dispersija

Tankio funkcija:

Skirstinio funkcijos išraiška:

Pavyzdys: Matavimų paklaidos.

Keiskite parametrus m ir σ ir stebėkite, kaip atrodo abiejų funkcijų grafikai.

m = 2.6;

sigma = 4.03;

x = (m-10):0.01:(m+10);

density = normpdf(x, m, sigma);

plot(x, density);

dist = normcdf(x, m, sigma);

plot(x, dist)

Eksponentinis skirstinys

Žymėjimas:

;

Parametras

yra susietas su skirstinio vidurkiu bei dispersija sąryšiu

, t.y. eksponentinio dydžio X vidurkis yra

, o jo dispersija

Tankio funkcija:

Skirstinio funkcijos išraiška:

Pavyzdys: Radioktyviosios medžiagos skilimas.

Keiskite skirstinio parametrą λ ir stebėkite, kaip atrodo tikimybių ir skirstinio funkcijos grafikai.

lambda = 7.3;

x = 0:0.01:20;

pr = exppdf(x, lambda);

plot(x, pr);

ef = expcdf(x, lambda);

plot(x, ef);