%% Interaktyvus pratimas nr. 10. Skirstiniai
% Šiame interaktyviame pratime nagrinėsime diskrečiųjų ir tolydžiųjų skirstinių 
% pavyzdžius. Priminsime, kad diskrečiųjų atsitiktinių dydžių reikšmių aibė yra 
% baigtinė arba skaičioji, o tolygiųjų atsitiktinių dydžių reikšmės priklauso 
% tam tikram intervalui $\left\lbrack a;b\right\rbrack$. Tolydaus atsitiktinio 
% dydžio atveju vienas iš rėžių ($a$ ir $b$) arba abu gali būti ir begaliniai.
% 
% Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių pavyzdžiai:
%% 
% * Iškritusių taškų skaičius ant simetrinio lošimo kauliuko;
% * Vaikų skaičius klasėje;
% * Krepšininko pataikytų baudų skaičius;
% * Telefono skambučių valandos laikotarpyje skaičius.
%% 
% Tolydžiųjų atsitiktinių dydžių pavyzdžiai:
%% 
% * Žmogaus ūgis;
% * Tiesės atkarpos ilgis;
% * Vandens telkinio gylis atsitiktinėje telkinio vietoje;
% * Įmonės akcijų grąža.
%% 
% Kiekvienam skirstiniui nagrinėsime dvi svarbias funkcijas, kurios apibrėžia 
% skirstinį: tankio funkciją $p\left(x\right)=F_X^{\prime } \left(x\right)$ (diskrečiuoju 
% atveju - tikimybės išraišką $P\left(X=x_i \right)$) ir skirstinio funkciją $F_X 
% \left(x\right)=P\left(X\le x\right)$.
%% Diskretieji skirstiniai
% Binominis skirstinys
% Žymėjimas: $X~B\left(n,p\right)$;
% 
% Parametrai: bandymų skaičius $n$ ir sekmės tikimybė $p$.
% 
% Tikimybės išraiška: $P\left(X=k\right)=C_n^k p^k {\left(1-p\right)}^k$
% 
% Skirstinio funkcijos išraiška: $F_X \left(x\right)=\sum_{k=0}^{\left\lfloor 
% x\right\rfloor } P\left(X=k\right)$.
% 
% Pavyzdys: Ant simetriškos monetos iškritusių herbų skaičius, kai moneta metama 
% 15 kartų. *Parinkite parametrus taip, kad matytumete šio atsitiktinio dydžio 
% tikimybių lentelės ir skirstinio funkcijos grafinę interpretaciją.*
% 
% Keiskite parametrus $n$ ir $p$ ir stebėkite, kaip atrodo abiejų išraiškų grafikai.

n = 13;
p = 0.55;

x = 0:0.01:20;

pr = binopdf(floor(x), n, p);
plot(x, pr);

binf = binocdf(floor(x), n, p);
plot(x, binf)
% Puasono skirstinys
% Žymėjimas: $X~P\left(\lambda \right)$;
% 
% Parametras: vidurkis ir dispersija $\lambda >0$.
% 
% Tikimybės išraiška: $P\left(X=k\right)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda \;} }{k!}$
% 
% Skirstinio funkcijos išraiška: $F_X \left(x\right)=\sum_{k=0}^{\left\lfloor 
% x\right\rfloor } P\left(X=k\right)$.
% 
% Vienas iš Puasono skirstinio taikymų yra susietas su paprasčiausio srauto 
% sąvoka. Tokio srauto pavyzdys yra telefono skambučių per tam tikrą laikotarpį 
% $t$ skaičius. Intuityviai galime suprasti, kad atskiri laiko intervalai yra 
% nesusieti tarpusavyje ir nedaro jokios įtakos kitiems laiko intervalams. Be 
% to šis skaičius priklauso tik nuo laiko intervalo ilgio, o skambučiai yra fiksuojami 
% po vieną. Tokia ir yra paprasčiausio srauto esmė, o tikimybės išraiška atrodo 
% taip:
% 
% $P\left(X=k\right)=\frac{{\left(\lambda \;t\right)}^k e^{-\lambda \;t} }{k!}$.
% 
% Apie kitą Puasono skirstinio taikymą - rėtų įvykių dėsnį kalbėjome paskaitos 
% metu.
% 
% Keiskite Puasono skirstinio parametrą $\lambda$ ir stebėkite, kaip atrodo 
% tikimybių ir skirstinio funkcijos grafikai.

lambda = 7.3;
x = 0:0.01:20;

pr = poisspdf(floor(x), lambda);
plot(x, pr);

poif = poisscdf(floor(x), lambda);
plot(x, poif)
% Hipergeometrinis skirstinys
% Žymėjimas: $X~H\left(N,\;M,n\right)$;
% 
% Parametrai: populiacijos dydis $N$, ypatingų individų skaičius $M$, atrinktų 
% individų skaičius $n$.
% 
% Tikimybės išraiška: $P\left(X=m\right)=\frac{C_M^m \cdot C_{N-M}^{n-m} }{C_N^n 
% }$
% 
% Skirstinio funkcijos išraiška: $F_X \left(x\right)=\sum_{m=0}^{\left\lfloor 
% x\right\rfloor } P\left(X=m\right)$.
% 
% Pavyzdys: Konkrečios spalvos kortų pasidėstymas pas oponentus bridžo žaidime 
% (žr. video paskaitą)
% 
% Keiskite skirstinio parametrus ir stebėkite, kaip atrodo abiejų išraiškų grafikai. 
% Atsiminkite, kad $M\le N$ir $n\le N$.

N = 16;
M = 13;
n = 9;

x = 0:0.01:20;

pr = hygepdf(floor(x), N, M, n);
plot(x, pr);

hyf = hygecdf(floor(x), N, M, n);
plot(x, hyf)
%% Tolydieji skirstiniai
% Normalusis skirstinys
% Žymėjimas: $X~N\left(m,\sigma \right)$ (pagal susitarimą $X~N\left(m,\sigma^2 
% \right)$);
% 
% Parametrai: vidurkis $m$ ir standartinis nuokrypis $\sigma$ (dispersija $\sigma^2$).
% 
% Tankio funkcija: $\varphi \left(x,m,\sigma \right)=\frac{1}{\sigma \sqrt{\;2\pi 
% }}e^{-\frac{{\left(x-m\right)}^2 }{2\sigma^2 }}$
% 
% Skirstinio funkcijos išraiška: $\Phi \left(x,m,\sigma \right)=\frac{1}{\sigma 
% \sqrt{\;2\pi }}\int_{-\infty }^x e^{-\frac{{\left(t-m\right)}^2 }{2\sigma^2 
% }} \mathrm{dt}$.
% 
% Pavyzdys: Matavimų paklaidos.
% 
% Keiskite parametrus $m$ ir $\sigma$ ir stebėkite, kaip atrodo abiejų funkcijų 
% grafikai.

m = 2.6;
sigma = 4.03;

x = (m-10):0.01:(m+10);

density = normpdf(x, m, sigma);
plot(x, density);

dist = normcdf(x, m, sigma);
plot(x, dist)
% Eksponentinis skirstinys
% Žymėjimas: $X~E\left(\lambda \right)$;
% 
% Parametras $\lambda >0$ yra susietas su skirstinio vidurkiu bei dispersija 
% sąryšiu $\frac{1}{\lambda }$, t.y. eksponentinio dydžio $X$ vidurkis yra $\mathrm{EX}=\frac{1}{\lambda 
% }$, o jo dispersija $\mathrm{Var}\left(X\right)=\frac{1}{\lambda }$.
% 
% Tankio funkcija: $p\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x}$
% 
% Skirstinio funkcijos išraiška: $F_X \left(x\right)=1-e^{-\lambda x}$.
% 
% Pavyzdys: Radioktyviosios medžiagos skilimas.
% 
% Keiskite skirstinio parametrą $\lambda$ ir stebėkite, kaip atrodo tikimybių 
% ir skirstinio funkcijos grafikai.

lambda = 2.2;
x = 0:0.01:20;

pr = exppdf(x, lambda);
plot(x, pr);

ef = expcdf(x, lambda);
plot(x, ef);