%% Interaktyvus pratimas nr. 10. Skirstiniai
% Šiame interaktyviame pratime nagrinėsime diskrečiųjų ir tolydžiųjų skirstinių pavyzdžius. Priminsime, kad diskrečiųjų atsitiktinių dydžių reikšmių aibė yra baigtinė arba skaičioji, o tolygiųjų atsitiktinių dydžių reikšmės priklauso tam tikram intervalui \left\lbrack a;b\right\rbrack. Tolydaus atsitiktinio dydžio atveju vienas iš rėžių (a ir b) arba abu gali būti ir begaliniai.
% Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių pavyzdžiai:
% Iškritusių taškų skaičius ant simetrinio lošimo kauliuko;
% Vaikų skaičius klasėje;
% Krepšininko pataikytų baudų skaičius;
% Telefono skambučių valandos laikotarpyje skaičius.
% Tolydžiųjų atsitiktinių dydžių pavyzdžiai:
% Žmogaus ūgis;
% Tiesės atkarpos ilgis;
% Vandens telkinio gylis atsitiktinėje telkinio vietoje;
% Įmonės akcijų grąža.
% Kiekvienam skirstiniui nagrinėsime dvi svarbias funkcijas, kurios apibrėžia skirstinį: tankio funkciją p\left(x\right)=F_X^{\prime } \left(x\right) (diskrečiuoju atveju - tikimybės išraišką P\left(X=x_i \right)) ir skirstinio funkciją F_X \left(x\right)=P\left(X\le x\right).
%% Diskretieji skirstiniai
%% Binominis skirstinys
% Žymėjimas: X~B\left(n,p\right);
% Parametrai: bandymų skaičius n ir sekmės tikimybė p.
% Tikimybės išraiška: P\left(X=k\right)=C_n^k p^k {\left(1-p\right)}^k
% Skirstinio funkcijos išraiška: F_X \left(x\right)=\sum_{k=0}^{\left\lfloor x\right\rfloor } P\left(X=k\right).
% Pavyzdys: Ant simetriškos monetos iškritusių herbų skaičius, kai moneta metama 15 kartų. Parinkite parametrus taip, kad matytumete šio atsitiktinio dydžio tikimybių lentelės ir skirstinio funkcijos grafinę interpretaciją.
% Keiskite parametrus n ir p ir stebėkite, kaip atrodo abiejų išraiškų grafikai.

n = 13;
p = 0.55;

x = 0:0.01:20;

pr = binopdf(floor(x), n, p);
plot(x, pr);

binf = binocdf(floor(x), n, p);
plot(x, binf)

%
%% Puasono skirstinys
% Žymėjimas: X~P\left(\lambda \right);
% Parametras: vidurkis ir dispersija \lambda >0.
% Tikimybės išraiška: P\left(X=k\right)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda \;} }{k!}
% Skirstinio funkcijos išraiška: F_X \left(x\right)=\sum_{k=0}^{\left\lfloor x\right\rfloor } P\left(X=k\right).
% Vienas iš Puasono skirstinio taikymų yra susietas su paprasčiausio srauto sąvoka. Tokio srauto pavyzdys yra telefono skambučių per tam tikrą laikotarpį t skaičius. Intuityviai galime suprasti, kad atskiri laiko intervalai yra nesusieti tarpusavyje ir nedaro jokios įtakos kitiems laiko intervalams. Be to šis skaičius priklauso tik nuo laiko intervalo ilgio, o skambučiai yra fiksuojami po vieną. Tokia ir yra paprasčiausio srauto esmė, o tikimybės išraiška atrodo taip:
% P\left(X=k\right)=\frac{{\left(\lambda \;t\right)}^k e^{-\lambda \;t} }{k!}.
% Apie kitą Puasono skirstinio taikymą - rėtų įvykių dėsnį kalbėjome paskaitos metu.
% Keiskite Puasono skirstinio parametrą \lambda ir stebėkite, kaip atrodo tikimybių ir skirstinio funkcijos grafikai.

lambda = 7.3;
x = 0:0.01:20;

pr = poisspdf(floor(x), lambda);
plot(x, pr);

poif = poisscdf(floor(x), lambda);
plot(x, poif)

%
%% Hipergeometrinis skirstinys
% Žymėjimas: X~H\left(N,\;M,n\right);
% Parametrai: populiacijos dydis N, ypatingų individų skaičius M, atrinktų individų skaičius n.
% Tikimybės išraiška: P\left(X=m\right)=\frac{C_M^m \cdot C_{N-M}^{n-m} }{C_N^n }
% Skirstinio funkcijos išraiška: F_X \left(x\right)=\sum_{m=0}^{\left\lfloor x\right\rfloor } P\left(X=m\right).
% Pavyzdys: Konkrečios spalvos kortų pasidėstymas pas oponentus bridžo žaidime (žr. video paskaitą)
% Keiskite skirstinio parametrus ir stebėkite, kaip atrodo abiejų išraiškų grafikai. Atsiminkite, kad M\le Nir n\le N.

N = 16;
M = 13;
n = 9;

x = 0:0.01:20;

pr = hygepdf(floor(x), N, M, n);
plot(x, pr);

hyf = hygecdf(floor(x), N, M, n);
plot(x, hyf)

%
%% Tolydieji skirstiniai
%% Normalusis skirstinys
% Žymėjimas: X~N\left(m,\sigma \right) (pagal susitarimą X~N\left(m,\sigma^2 \right));
% Parametrai: vidurkis m ir standartinis nuokrypis \sigma (dispersija \sigma^2).
% Tankio funkcija: \varphi \left(x,m,\sigma \right)=\frac{1}{\sigma \sqrt{\;2\pi }}e^{-\frac{{\left(x-m\right)}^2 }{2\sigma^2 }}
% Skirstinio funkcijos išraiška: \Phi \left(x,m,\sigma \right)=\frac{1}{\sigma \sqrt{\;2\pi }}\int_{-\infty }^x e^{-\frac{{\left(t-m\right)}^2 }{2\sigma^2 }} \mathrm{dt}.
% Pavyzdys: Matavimų paklaidos.
% Keiskite parametrus m ir \sigma ir stebėkite, kaip atrodo abiejų funkcijų grafikai.

m = 2.6;
sigma = 4.03;

x = (m-10):0.01:(m+10);

density = normpdf(x, m, sigma);
plot(x, density);

dist = normcdf(x, m, sigma);
plot(x, dist)

%
%% Eksponentinis skirstinys
% Žymėjimas: X~E\left(\lambda \right);
% Parametras \lambda >0 yra susietas su skirstinio vidurkiu bei dispersija sąryšiu \frac{1}{\lambda }, t.y. eksponentinio dydžio X vidurkis yra \mathrm{EX}=\frac{1}{\lambda }, o jo dispersija \mathrm{Var}\left(X\right)=\frac{1}{\lambda }.
% Tankio funkcija: p\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x}
% Skirstinio funkcijos išraiška: F_X \left(x\right)=1-e^{-\lambda x}.
% Pavyzdys: Radioktyviosios medžiagos skilimas.
% Keiskite skirstinio parametrą \lambda ir stebėkite, kaip atrodo tikimybių ir skirstinio funkcijos grafikai.

lambda = 2.2;
x = 0:0.01:20;

pr = exppdf(x, lambda);
plot(x, pr);

ef = expcdf(x, lambda);
plot(x, ef);