Interaktyvus pratimas nr. 9. Matricos ir determinantai. Tiesiniai operatoriai

I dalis. Posūkio ir atspindžio tiesiniai operatoriai

Vir_x = [0 0 1 1 0];

Vir_y = [0 1 1 0 0];

newplot

hold on;

plot(Vir_x,Vir_y);

grid on

axis([-2, 2, -2, 2]);

ax = gca;

ax.XAxisLocation = 'origin';

ax.YAxisLocation = 'origin';

hold off

Pradėsime nuo posūkio operatoriaus, t.y. pasuksime šį kvadratą kampu . Galite keisti kampą α (laipsniais) ir stebėti, kaip keičiasi posūkio matrica, kuri atrodo taip:

alpha = 60;

c = cosd(alpha);

s = sind(alpha);

A = [c -s; s c];

disp('Posūkio matrica yra: ')

Posūkio matrica yra:

disp(A)

0.5000 -0.8660 0.8660 0.5000

A00 = A * [0; 0];

A01 = A * [0; 1];

A10 = A * [1; 0];

A11 = A * [1; 1];

newplot;

clf;

plot([0 0 1 1 0],[0 1 1 0 0]);

hold on;

Vir_x = [A00(1) A01(1) A11(1) A10(1) A00(1)];

Vir_y = [A00(2) A01(2) A11(2) A10(2) A00(2)];

plot(Vir_x,Vir_y);

grid on;

axis([-2, 2, -2, 2]);

ax = gca;

ax.XAxisLocation = 'origin';

ax.YAxisLocation = 'origin';

hold off;

Dabar nagrinėsime atspindžio operatorių. Galite keisti ašies , kurios atžvilgiu bus daromas atspindys, koordinates (akivaizdu, kad vektorius turi būti nenulinis). MATLAB apskaičiuos atspindžio matricą ir nubraizys grafinį vaizdą (kartu braižomas ir ašies ortas). Atspindžio matrica yra skaičiuojama taip:

čia yra vienetinė matrica.

a_x = 3;

a_y = 4;

aa = [a_x; a_y];

aa = aa/norm(aa);

a = [0 -1; 1 0] * aa;

B = eye(2) - 2 * (a * a');

disp('Atspindžio matrica yra: ')

Atspindžio matrica yra:

disp(B)

-0.2800 0.9600 0.9600 0.2800

B00 = B*[0;0];

B01 = B*[0;1];

B10 = B*[1;0];

B11 = B*[1;1];

newplot;

clf;

hold on;

plot([0 0 1 1 0],[0 1 1 0 0]);

Vir_x = [B00(1) B01(1) B11(1) B10(1) B00(1)];

Vir_y = [B00(2) B01(2) B11(2) B10(2) B00(2)];

plot(Vir_x,Vir_y);

axis([-2, 2, -2, 2]);

quiver(0,0,aa(1),aa(2),0)

ax = gca;

ax.XAxisLocation = 'origin';

ax.YAxisLocation = 'origin';

grid on;

hold off;

Pademonstruosime pagrindinę matricų daugybos savybę, t.y. . Tam panaudosime anksčiau sugeneruotas posūkio ir atspindžio operatorius. Pavaizduosime, kaip transformuoja šių matricų sandaugos vienetinį kvadratą. Laikysime, kad A yra posūkio matrica, o B yra atspindžio matrica.

Tarkime, kad pirmą atliekame posūkį, o tada ieškome atspindžio. Tada vienetinį kvadratą veikia sandauga . Turime tokį vaizdą:

C = B * A;

C00 = C*[0;0];

C01 = C*[0;1];

C10 = C*[1;0];

C11 = C*[1;1];

newplot;

clf;

hold on;

plot([0 0 1 1 0],[0 1 1 0 0]);

Vir_x = [C00(1) C01(1) C11(1) C10(1) C00(1)];

Vir_y = [C00(2) C01(2) C11(2) C10(2) C00(2)];

plot(Vir_x,Vir_y);

axis([-2, 2, -2, 2]);

ax = gca;

ax.XAxisLocation = 'origin';

ax.YAxisLocation = 'origin';

grid on;

hold off;

Dabar tarkime, kad pirmą pritaikome atspindžio transformaciją, o tada atliekame posūkį. Tada vienetinį kvadratą veikia sandauga . Turime tokį vaizdą:

D = A * B;

D00 = D*[0;0];

D01 = D*[0;1];

D10 = D*[1;0];

D11 = D*[1;1];

newplot;

clf;

hold on;

plot([0 0 1 1 0],[0 1 1 0 0]);

Vir_x = [D00(1) D01(1) D11(1) D10(1) D00(1)];

Vir_y = [D00(2) D01(2) D11(2) D10(2) D00(2)];

plot(Vir_x,Vir_y);

axis([-2, 2, -2, 2]);

ax = gca;

ax.XAxisLocation = 'origin';

ax.YAxisLocation = 'origin';

grid on;

hold off;

clearvars("C", "D")

II dalis. Determinanto geometrinė interpretacija

Dabar pademonstruosime kvadratinės matricos determinanto geometrinę interpretaciją. Kurso klausytojui siūlome pasirinkti sveikąją determinanto reikšmę iš intervalo . MATLAB sugeneruos matricą, kurios determinantas yra jūsų pasirinktas skaičius ir paveiks šia matrica vienetinį kvadratą. Žemiau bus nubraižytas grafinis vaizdas.

d = 2;

C = diag([3 3]);

while det(C) ~= d

C = randi([-5 5], 2, 2);

end

C00 = C*[0;0];

C01 = C*[0;1];

C10 = C*[1;0];

C11 = C*[1;1];

newplot;

clf;

hold on;

plot([0 0 1 1 0],[0 1 1 0 0]);

Vir_x = [C00(1) C01(1) C11(1) C10(1) C00(1)];

Vir_y = [C00(2) C01(2) C11(2) C10(2) C00(2)];

plot(Vir_x,Vir_y);

axis([-10, 10, -10, 10]);

ax = gca;

ax.XAxisLocation = 'origin';

ax.YAxisLocation = 'origin';

grid on;

hold off;

III dalis. Tikrinės reikšmės ir tikriniai vektoriai

Dabar panagrinėsime kvadratinės matricos tikrines reikšmes ir tikrinius vektorius. Priminsime, kad tiesinio operatoriaus A tikriniu vektoriumi vadinamas nenulinis vektorius , kuris tenkina sąlygą:

Skaičius λ yra vadinamas tikrine reikšme. Sakoma, kad tikrinis vektorius atitinka tikrinę reikšmę λ.

Šioje dalyje mes ištirsime geometrinę tikrinių reikšmių ir vektorių interpretaciją. Tam panaudosime specialaus tipo matricas - simetrines matricas, t.y. tokias, kad . Šį matricų tipą mes nagrinėsime todėl, kad jų tikrinės reikšmės visada yra realios. Taip pat apsiribosime matricomis.

Žemiau bus sugeneruota simetrinė matrica D, apskaičiuoti jos tikriniai vektoriai ir tikrinės reikšmes.

v_x = -1;

v_y = 1;

v = [v_x; v_y];

w = D * v;

newplot;

clf;

hold on;

quiver(0,0,v(1),v(2),0)

quiver(0,0,w(1),w(2),0)

ax = gca;

ax.XAxisLocation = 'origin';

ax.YAxisLocation = 'origin';

grid on;

hold off;

Galite matyti, kad pasirinkę tikrinį vektorių , abu pavaizduoti vektoriai ( ir ) yra vienoje tiesėje. Tai reiškia, kad egzistuoja toks skaičius kad iš jo padauginę tikrinį vektorių gausime vektorių . Būtent tokią geometrinę prasmę ir turi tikrinės reikšmė ir jas atitinkantys tikriniai vektoriai.

Pabandykite patys

1. Įrodykite, kad posūkio ir atspindžio matricų determinantai yra atitinkamai 1 ir -1.
2. Įrodykite, kad simetrinės tikriniai vektoriai yra ir .
3. Atlikite vienetinio kūbo transformaciją su fiksuota determinanto reikšme (braižyti nebūtina). Įsitikinkite, kad gautų tūrių santykis yra lygus transformacijos matricos determinantui.