%% Interaktyvus pratimas nr. 9. Matricos ir determinantai. Tiesiniai operatoriai
% Paskaitos metu kalbėjome apie geometrinę matricų interpretaciją. Šiame interaktyviame 
% pratime nagrinėsime posūkio bei atspingžio tiesinius operatorius ir pavaizduosime 
% juos matriciniu pavidalu. Taip pat išsiaiškinsime matricos determinanto geometrinę 
% prasmę. Tam tikslui nagrinėsime vienetinio kvadrato, pavaizduoto žemiau, kelias 
% transformacijas. Trečioje dalyje panagrinėsime tikrinių reikšmių ir vektorių 
% sąvokas.
%% I dalis. Posūkio ir atspindžio tiesiniai operatoriai
% Tarkime, kad turime vienetinį kvadratą

Vir_x = [0 0 1 1 0];
Vir_y = [0 1 1 0 0];

newplot
hold on;
plot(Vir_x,Vir_y);
grid on
axis([-2, 2, -2, 2]);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
hold off
%% 
% Pradėsime nuo posūkio operatoriaus, t.y. pasuksime šį kvadratą kampu $\alpha 
% \;$. Galite keisti kampą $\alpha$ (laipsniais) ir stebėti, kaip keičiasi posūkio 
% matrica, kuri atrodo taip: 
% 
% $$A=\left\lbrack \begin{array}{cc}\cos \;\alpha  & -\sin \;\alpha \\\sin \;\alpha  
% & \cos \;\alpha \end{array}\right\rbrack \ldotp$$
% 
% Taip pat galite matyti grafinę interpretaciją

alpha = 60;  % Keiskite čia
c = cosd(alpha);
s = sind(alpha);

A = [c -s; s c];

disp('Posūkio matrica yra: ')
disp(A)

A00 = A * [0; 0];
A01 = A * [0; 1];
A10 = A * [1; 0];
A11 = A * [1; 1];

newplot;
clf;
plot([0 0 1 1 0],[0 1 1 0 0]);

hold on;

Vir_x = [A00(1) A01(1) A11(1) A10(1) A00(1)];
Vir_y = [A00(2) A01(2) A11(2) A10(2) A00(2)];
plot(Vir_x,Vir_y);
grid on;
axis([-2, 2, -2, 2]);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
hold off;
%% 
% Dabar nagrinėsime atspindžio operatorių. Galite keisti ašies $\overrightarrow{a} 
% =\left(a_x ,a_y \right)$, kurios atžvilgiu bus daromas atspindys, koordinates 
% (akivaizdu, kad vektorius turi būti nenulinis). MATLAB apskaičiuos atspindžio 
% matricą ir nubraizys grafinį vaizdą (kartu braižomas ir ašies ortas). Atspindžio 
% matrica yra skaičiuojama taip:
% 
% $$A=I-2\frac{\left\lbrack \begin{array}{c}-a_y \\a_x \end{array}\right\rbrack 
% \left\lbrack \begin{array}{cc}-a_y  & a_x \end{array}\right\rbrack }{a_x^2 +a_y^2 
% },$$
% 
% čia $I=\left\lbrack \begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right\rbrack$ 
% yra vienetinė matrica.

a_x = 3; % Keiskite čia
a_y = 4; % Keiskite čia

aa = [a_x; a_y];
aa = aa/norm(aa);

a = [0 -1; 1 0] * aa;

B = eye(2) - 2 * (a * a');

disp('Atspindžio matrica yra: ')
disp(B)

B00 = B*[0;0];
B01 = B*[0;1];
B10 = B*[1;0];
B11 = B*[1;1];

newplot;
clf;
hold on;

plot([0 0 1 1 0],[0 1 1 0 0]);

Vir_x = [B00(1) B01(1) B11(1) B10(1) B00(1)];
Vir_y = [B00(2) B01(2) B11(2) B10(2) B00(2)];
plot(Vir_x,Vir_y);
axis([-2, 2, -2, 2]);
quiver(0,0,aa(1),aa(2),0)

ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

grid on;
hold off;
%% 
% Pademonstruosime pagrindinę matricų daugybos savybę, t.y. $A\;B\not= B\;A$. 
% Tam panaudosime anksčiau sugeneruotas posūkio ir atspindžio operatorius. Pavaizduosime, 
% kaip transformuoja šių matricų sandaugos vienetinį kvadratą. Laikysime, kad 
% $A$ yra posūkio matrica, o $B$ yra atspindžio matrica.
% 
% Tarkime, kad pirmą atliekame posūkį, o tada ieškome atspindžio. Tada vienetinį 
% kvadratą veikia sandauga $B\;A$. Turime tokį vaizdą:

C = B * A;

C00 = C*[0;0];
C01 = C*[0;1];
C10 = C*[1;0];
C11 = C*[1;1];

newplot;
clf;
hold on;

plot([0 0 1 1 0],[0 1 1 0 0]);

Vir_x = [C00(1) C01(1) C11(1) C10(1) C00(1)];
Vir_y = [C00(2) C01(2) C11(2) C10(2) C00(2)];
plot(Vir_x,Vir_y);
axis([-2, 2, -2, 2]);

ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

grid on;
hold off;
%% 
% Dabar tarkime, kad pirmą pritaikome atspindžio transformaciją, o tada atliekame 
% posūkį. Tada vienetinį kvadratą veikia sandauga $A\;B$. Turime tokį vaizdą:

D = A * B;

D00 = D*[0;0];
D01 = D*[0;1];
D10 = D*[1;0];
D11 = D*[1;1];

newplot;
clf;
hold on;

plot([0 0 1 1 0],[0 1 1 0 0]);

Vir_x = [D00(1) D01(1) D11(1) D10(1) D00(1)];
Vir_y = [D00(2) D01(2) D11(2) D10(2) D00(2)];
plot(Vir_x,Vir_y);
axis([-2, 2, -2, 2]);

ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

grid on;
hold off;
clearvars("C", "D")
%% 
% Palyginkite gautus vaizdus. Dabar pagrindinė matricų savybė yra akivaizdi!
%% II dalis. Determinanto geometrinė interpretacija
% Apskaičiuokime pirmoje dalyje nagrinėtų matricų determinantus:

det(A)
det(B)
%% 
% Šiuos rezultatus lengvai galima įrodyti. Siūlome šio kurso klausytojams tai 
% padaryti patiems.
% 
% Dabar pademonstruosime kvadratinės matricos determinanto geometrinę interpretaciją. 
% Kurso klausytojui siūlome pasirinkti sveikąją determinanto reikšmę iš intervalo 
% $\left\lbrack -5;5\right\rbrack$. MATLAB sugeneruos matricą, kurios determinantas 
% yra jūsų pasirinktas skaičius ir paveiks šia matrica vienetinį kvadratą. Žemiau 
% bus nubraižytas grafinis vaizdas.

d = 2; % Keiskite čia

C = diag([3 3]);
while det(C) ~= d
    C = randi([-5 5], 2, 2);
end

C00 = C*[0;0];
C01 = C*[0;1];
C10 = C*[1;0];
C11 = C*[1;1];

newplot;
clf;
hold on;

plot([0 0 1 1 0],[0 1 1 0 0]);

Vir_x = [C00(1) C01(1) C11(1) C10(1) C00(1)];
Vir_y = [C00(2) C01(2) C11(2) C10(2) C00(2)];
plot(Vir_x,Vir_y);
axis([-10, 10, -10, 10]);

ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

grid on;
hold off;
%% 
% Apskaičiuosime gauto lygiagretainio plotą:

Plotas = norm(cross([C10; 0], [C01; 0]));
%% 
% Palyginkime lygiagretainio plotą ir determinantą:

disp(['Jūsų pasirinktas determinantas det(C) = ' num2str(d)]);
disp(['Gauto lygiagretainio plotas yra lygus: ' num2str(Plotas)]);
%% 
% Taigi matome, kad antros eilės matricos determinanto modulis rodo santykį 
% tarp pradinės ir po transformacijos gautų figūrų plotų. Tas pats galioja ir 
% tūriams trimačiu atveju.
%% III dalis. Tikrinės reikšmės ir tikriniai vektoriai
% Dabar panagrinėsime kvadratinės matricos tikrines reikšmes ir tikrinius vektorius. 
% Priminsime, kad tiesinio operatoriaus $A$ tikriniu vektoriumi vadinamas nenulinis 
% vektorius $\overrightarrow{\;x}$, kuris tenkina sąlygą:
% 
% $$A\;\overrightarrow{\;x} =\lambda \;\overrightarrow{\;x} \ldotp$$
% 
% Skaičius $\lambda$ yra vadinamas tikrine reikšme. Sakoma, kad tikrinis vektorius 
% $\overrightarrow{\;x}$ atitinka tikrinę reikšmę $\lambda$.
% 
% Šioje dalyje mes ištirsime geometrinę tikrinių reikšmių ir vektorių interpretaciją. 
% Tam panaudosime specialaus tipo matricas - simetrines matricas, t.y. tokias, 
% kad $A=A^T$. Šį matricų tipą mes nagrinėsime todėl, kad jų tikrinės reikšmės 
% visada yra realios. Taip pat apsiribosime $2\times 2$ matricomis.
% 
% Žemiau bus sugeneruota $2\times 2$ simetrinė matrica $D$, apskaičiuoti jos 
% tikriniai vektoriai ir tikrinės reikšmes.

d = randi([-5 5], 1, 2);
D = [d(1) d(2); d(2) d(1)]

[vecs, vals] = eig(D);
disp(['Tikrinės reikšmės yra: ' num2str(vals(1, 1)) ' ir ' num2str(vals(2, 2))]);
disp(['Tikriniai vektoriai, atitinkantys tikrinę reikšmę ' num2str(vals(1, 1)) ': (' num2str(vecs(1, 1)) 't; ' num2str(vecs(2, 1)) 't), čia t - bet koks realusis skaičius']);
disp(['Tikriniai vektoriai, atitinkantys tikrinę reikšmę ' num2str(vals(2, 2)) ': (' num2str(vecs(1, 2)) 's; ' num2str(vecs(2, 2)) 's), čia s - bet koks realusis skaičius']);
%% 
% Galime palyginti, kuo tikriniai vektoriai skiriasi nuo kitų vektorių. Kurso 
% klausytojus siūlome pasirinkti bet kokį vektorių ir paveikti jį aukščiau sugeneruota 
% matrica $D$. Žemiau bus pavaizduotas tiek pradinis vektorius, tiek jau pavektas 
% tiesiniu operatoriumi $D$.

v_x = -1; % Keiskite čia
v_y = 1; % Keiskite čia

v = [v_x; v_y];

w = D * v;

newplot;
clf;
hold on;

quiver(0,0,v(1),v(2),0)
quiver(0,0,w(1),w(2),0)

ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

grid on;
hold off;
%% 
% Galite matyti, kad pasirinkę tikrinį vektorių $\overrightarrow{x}$, abu pavaizduoti 
% vektoriai ($\overrightarrow{x}$ ir $D\overrightarrow{x}$) yra vienoje tiesėje. 
% Tai reiškia, kad egzistuoja toks skaičius $\lambda \;$kad iš jo padauginę tikrinį 
% vektorių $\overrightarrow{x}$gausime vektorių $D\overrightarrow{x}$. Būtent 
% tokią geometrinę prasmę ir turi tikrinės reikšmė ir jas atitinkantys tikriniai 
% vektoriai.
%% Pabandykite patys
%% 
% # Įrodykite, kad posūkio ir atspindžio matricų determinantai yra atitinkamai 
% 1 ir -1.
% # Įrodykite, kad simetrinės $2\times 2$ tikriniai vektoriai yra $\left\lbrack 
% \begin{array}{c}t\\t\end{array}\right\rbrack$ ir $\left\lbrack \begin{array}{c}t\\-t\end{array}\right\rbrack$.
% # Atlikite vienetinio kūbo transformaciją su fiksuota determinanto reikšme 
% (braižyti nebūtina). Įsitikinkite, kad gautų tūrių santykis yra lygus transformacijos 
% matricos determinantui.