%% Interaktyvus pratimas nr. 7. SIR modelis
% Šiame interaktyviame pratime nagrinėsime SIR modelį, kuris yra skirtas epidemiologams, 
% kurie prognozuoja pandemijos elgesį šalyje. Kaip jau buvo minėta paskaitos metu, 
% šis modelis yra pakankamai paprastai suvokiamas, tačiau nagrinėja tik tris asmenų 
% tipus:
%% 
% * Liga nepaveikti asmenys (angl.  *s*usceptible individuals);
% * Liga užkrėsti asmenys (angl. *i*nfectious individuals);
% * Pasveikę asmenys (angl. *r*ecovered individuals).
%% 
% Iš angliškų grupių pavadinimų galite suprasti, kodėl modelis turi tokį pavadinimą.
% 
% Dėja, prie paskutinės grupės taip tat yra priskiriami ir mirę nuo ligos asmenys. 
% Kitaip sakoma, kad trečiąją asmenų grupę sudaro taip vadinami pasibaigę atvėjai, 
% t.y. tie, kuriems jau yra žinomas rezultatas (asmuo pasveiko arba mirė).
% 
% Modelis nagrinėja šių trijų grupių pokyčius realiuoju laiku. Dėl to modelyje 
% susiduriame su išvestinės sąvoka. Jeigu konkrečiau, tai yra nagrinėjama diferencialinių 
% lygčių sistema:
% 
% $$\left\lbrace \begin{array}{l}S\prime \left(t\right)=-b\cdot S\left(t\right)\cdot 
% I\left(t\right)\\I\left(t\right)=b\cdot S\left(t\right)\cdot I\left(t\right)-c\cdot 
% I\left(t\right)\\R\left(t\right)=c\cdot I\left(t\right)\end{array}\right.,$$
% 
% čia  $b,c\in \left\lbrack 0;1\right\rbrack$ yra koeficientai, kurie parodo 
% šias tikimybes:
%% 
% * Koeficientas $b$ parodo tikimybę, kad ligos nepaveikas asmuo bus užkrėstas 
% po kontakto su sergančiu asmeniu (epidemijos vystimosi sparta);
% * Koeficientas c parodo tikimybę, kad užkrėstas žmogus pasveiko (epidemijos 
% išnykimo sparta).
%% 
% Šiuos koeficientus siūlome keisti. Apačioje grafiškai pavaizduotos trys funkcijos 
% $S\left(t\right)$ - sveikieji asmenys, $I\left(t\right)$ - užkrėstieji asmenys 
% ir $R\left(t\right)$ - pasveikę (arba mirę) asmenys.
% 
% Visą populiaciją laikydami lygią 1 galime keisti sveikųjų asmenų dalį populiacijoje 
% pradiniu laiko momentu. Laikysime, kad visi kiti asmenys yra užsikrėtę, o pasveikusių 
% asmenų pradiniu laiko momentu nėra. Taip pat galite keisti stebimo laiko intervalo 
% galą $T$, t.y. epidemija bus stebima laikotarpiu $\left\lbrack 0;T\right\rbrack$.

b = 0.694;
c = 0.103;

t_end = 38;

t_int = [0 t_end];

healphy = 0.767;
infected = 1 - healphy;
recovered  = 0;

IC = [healphy, infected, recovered];
%%
[t, X] = ode45(@(t, X) SIR(t, X, b, c), t_int, IC);

S = X(:, 1);
I = X(:, 2);
R = X(:, 3);
%%
plot(t, S);
hold on;
plot(t, I);
plot(t, R);
legend('S(t)', 'I(t)', 'R(t)')
hold off;
%%
function dxdt = SIR(t, X, b, c)
    dx1 = -b * X(2) * X(1);
    dx2 = b * X(2) * X(1) - c * X(2);
    dx3 = c * X(2);
    dxdt = [dx1; dx2; dx3];
end
%% Pabandykite patys
%% 
% # Pakeiskite modelį taip, kad būtų vertinamas faktas, jog pasveikęs žmogus 
% gali pakairtotinai susirgti šia lyga su tam tikra tikimybe $p$.