Interaktyvus pratimas nr. 4. Logaritminė spiralė

Logaritminė spiralė yra viena iš kreivių, kurią dažnai galima aptikti ne tik gamtoje, bet ir praktikoje. Ši kreivė turi svarbią savybę, kuri yra išnaudojama technikoje ir mechanizmų konstrukcijose: šios kreivės kreivumas yra pastovus, t.y. kampas tarp vektoriaus-spindulio ir liestinės bet kuriame kreivės taške yra pastovus. Būtent šios savybės demonstracijai yra skirtas šis interaktyvus pratimas.

Per paskaitą jau kalbėjome apie diskinio pjūklo pavyzdį. Pateiksime dar kelis pavyzdžius:

Pirmajame paveiksle matome logaritminės spiralės taikymą dekorui, t.y. ventiliatoriaus konstrukcijoje matome apspauginį tinklą, kuriau buvo panaudota mūsų nagrinėjama kreivė. Antrame paveiksle pavaizduota vandens siurblio dalis - vamzdis, kuris yra suvyniotas palei logaritminę spiralę, kuriuo vandens srautas tiekiamas į turbinos rato mentes. Trečiajame paveiksle matome, kad saulėgražos sėklos taip pat išsidėsto logaritmine spirale. Sėklos yra išdėstytos optimaliai, tai yra, maksimaliai išnaudoja erdvę.

Logaritminę spiralę braižysime polinių koordinačių sistemoje, t.y. tokioje, kur vietoje mums įprastų koordinačių x ir y taškui aprašyti yra naudojamas atstumas nuo koordinačių pradžios

ir kampas, kurį sudaro atitinkamas vektorius su Ox ašies teigiamąja kryptimi φ.

Logaritminės spiralės lygtis polinių koordinačių sistemoje yra:

Kaip jau minėta aukščiau, šiame interaktyviame pratime nubraižysime šią kreivę ir pademonstruosime vieną iš jos esminių savybių (grafiko liestinės savybę).

Pradėsime nuo kreivės braižymo. Galite keisti parametrus

bei stebėti, kaip keičiasi kreivės pavidalas.

a = 0.65;

b = 0.26;

rho = 0.01:0.01:10;

phi = 1/b * log(rho/a);

polarplot(phi, rho)

hold on;

Dabar galime nubraižyti vektorių-spindulį. Jį interpretuosime kaip tiesę, kurios krypties koeficientas yra kampo φ tangentas, o polinių koordinačių sistemoje šios tiesės lydtis yra

Galite keisti tiesės kampą (laipsniais).

alpha = 214;

angle = ones(length(rho))*deg2rad(alpha);

polarplot(angle, rho, 'r')

Dabar galime nubraižyti liestinę pasirinktame logaritminės spiralės taške. Liestinės padėtį kontroliuoja parametras k, kuris parodo pilnų apsisulimų skaičių.

Kampas tarp vektoriaus-spindulio ir liestinės yra pastovus ir priklauso nuo tik nuo parametro b. Jeigu šį kampą pažymėsime β, tai jo didumą galime surasti iš išraiškos:

k = 1;

rho0 = a * exp(b * deg2rad(alpha + 360*k));

x0 = rho0 * cosd(alpha);

y0 = rho0 * sind(alpha);

x = -10:0.01:10;

beta = acosd(b/sqrt(1+ b^2));

y = tand(alpha + beta)*(x-x0) + y0;

r = hypot(x, y);

theta = atan2(y, x);

polarplot(theta, r, 'g')

rlim([0, 10])

hold off

Pabandykite patys

Paanalizuokite paskutiniosios dalies kodą. Kam naudojamos trigonometrinės funkcijos? Kurioje eilutėje yra aprašyta liestinės lygtis?
Užrašykite logaritminės spiralės išraišką stačiakampėje koordinačių sistemoje.