%% Interaktyvus pratimas nr. 4. Logaritminė spiralė
% Logaritminė spiralė yra viena iš kreivių, kurią dažnai galima aptikti ne tik 
% gamtoje, bet ir praktikoje. Ši kreivė turi svarbią savybę, kuri yra išnaudojama 
% technikoje ir mechanizmų konstrukcijose: šios kreivės kreivumas yra pastovus, 
% t.y. kampas tarp vektoriaus-spindulio ir liestinės bet kuriame kreivės taške 
% yra pastovus. Būtent šios savybės demonstracijai yra skirtas šis interaktyvus 
% pratimas.
% 
% Per paskaitą jau kalbėjome apie diskinio pjūklo pavyzdį. Pateiksime dar kelis 
% pavyzdžius:
% 
% 
% 
% Pirmajame paveiksle matome logaritminės spiralės taikymą dekorui, t.y. ventiliatoriaus 
% konstrukcijoje matome apspauginį tinklą, kuriau buvo panaudota mūsų nagrinėjama 
% kreivė. Antrame paveiksle pavaizduota vandens siurblio dalis - vamzdis, kuris 
% yra suvyniotas palei logaritminę spiralę, kuriuo vandens srautas tiekiamas į 
% turbinos rato mentes. Trečiajame paveiksle matome, kad saulėgražos sėklos taip 
% pat išsidėsto logaritmine spirale. Sėklos yra išdėstytos optimaliai, tai yra, 
% maksimaliai išnaudoja erdvę.
% 
% Logaritminę spiralę braižysime polinių koordinačių sistemoje, t.y. tokioje, 
% kur vietoje mums įprastų koordinačių $x$ ir $y$ taškui aprašyti yra naudojamas 
% atstumas nuo koordinačių pradžios $\rho \;$ ir kampas, kurį sudaro atitinkamas 
% vektorius su $\textrm{Ox}$ ašies teigiamąja kryptimi $\varphi$.
% 
% 
% 
% Logaritminės spiralės lygtis polinių koordinačių sistemoje yra:
% 
% $\varphi =\frac{1}{b}\ln \left(\frac{\rho }{a}\right)$.
% 
% Kaip jau minėta aukščiau, šiame interaktyviame pratime nubraižysime šią kreivę 
% ir pademonstruosime vieną iš jos esminių savybių (grafiko liestinės savybę).
% 
% Pradėsime nuo kreivės braižymo. Galite keisti parametrus $a\in \left(0;1\right)$ 
% ir $b\in \left(0;1\right)$ bei stebėti, kaip keičiasi kreivės pavidalas. 

a = 0.64; % Keiskite čia
b = 0.26; % Keiskite čia

rho = 0.01:0.01:10;

phi = 1/b * log(rho/a);
polarplot(phi, rho)
hold on;
%% 
% Dabar galime nubraižyti vektorių-spindulį. Jį interpretuosime kaip tiesę, 
% kurios krypties koeficientas yra kampo $\varphi$ tangentas, o polinių koordinačių 
% sistemoje šios tiesės lydtis yra $\varphi =\varphi_{0\;}$.
% 
% Galite keisti tiesės kampą (laipsniais). 

alpha = 156; % Keiskite čia

angle = ones(length(rho))*deg2rad(alpha);
polarplot(angle, rho, 'r')
%% 
% Dabar galime nubraižyti liestinę pasirinktame logaritminės spiralės taške. 
% Liestinės padėtį kontroliuoja parametras $k$, kuris parodo pilnų apsisulimų 
% skaičių.
% 
% Kampas tarp vektoriaus-spindulio ir liestinės yra pastovus ir priklauso nuo 
% tik nuo parametro $b$. Jeigu šį kampą pažymėsime $\beta$, tai jo didumą galime 
% surasti iš išraiškos:
% 
% $\mathrm{cos}\;\beta =\frac{b}{1+b^2 }\;$.

k = 0; % Keiskite čia

rho0 = a * exp(b * deg2rad(alpha + 360*k));
x0 = rho0 * cosd(alpha);
y0 = rho0 * sind(alpha);
x = -10:0.01:10;

beta = acosd(b/sqrt(1+ b^2));

y = tand(alpha + beta)*(x-x0) + y0;
r = hypot(x, y);
theta = atan2(y, x);

polarplot(theta, r, 'g')
rlim([0, 10])
hold off
%% Pabandykite patys
%% 
% # Paanalizuokite paskutiniosios dalies kodą. Kam naudojamos trigonometrinės 
% funkcijos? Kurioje eilutėje yra aprašyta liestinės lygtis?
% # Užrašykite logaritminės spiralės išraišką stačiakampėje koordinačių sistemoje.