%% Interaktyvus pratimas nr. 3. Hiperbolinės funkcijos
% Paskaitoje kalbėjome apie hiperbolinio kosinuso funkciją ir jos savybes. Šiame 
% interaktyviame pratime apžvelgsime ne tik minėtą funkciją, bet ir hiperbolinio 
% sinuso bei tangento funkcijas. Paskutiniųjų dviejų funkcijų pritaikymas nėra 
% toks platus ir yra labiau susijęs su įvairių integralų skaičiavimais bei kitais 
% teoriniais matematiniais pritaikymais. Todėl pradėsime nuo plačiausiai taikomos 
% funkcijos - hiperbolinio kosinuso.
%% Hiperbolinis kosinusas
% Funkcijos apibrėžimas:
% 
% $\mathrm{cosh}\left(x\right)=\frac{e^x +e^{-x} }{2}$.
% 
% Kaip jau minėjome, hiperbolinio kosinuso kreivė dažnai yra naudojama architektūroje 
% dėl to, kad tai yra natūrali išlenkimo forma, kurioje apkrova pasiskirsto efektyviausiai. 
% Štai tipinis šios kreivės pavyzdys:
% 
% 
% 
% Paveiksle matome kaip apversta hiperbolinio kosinuso kreivė palaiko tilto 
% apkrovą, kurią sudaro tilto konstrukcijos, automobiliai ir t.t.
% 
% Lietuvių literatūroje dažniausiai hiperbolinio kosinuso kreivė yra vadinama 
% grandinine kreive. Tiksliau, taip yra vadinamas atskiras hiperbolinio kosinuso 
% kreivės atvejis:
% 
% $f\left(x\right)=a\cdot \mathrm{cosh}\left(\frac{x}{a}\right)$,
% 
% čia $\mathrm{cosh}\left(\cdot \right)$ yra hiperbolinio kosinuso funkcija.
% 
% Šio kurso klausytojams siūlome panagrinėti būtent šį atvejį. Kreivė bus braižoma 
% intervale $x\in \left\lbrack -1;1\right\rbrack$. Parametrą $a$ galite pasirinkti 
% patys ir tokiu būdu matysite, kaip kinta kreivės pavidalas priklausomai nuo 
% šio parametro reikšmės. Būtent parametro $a$ vertinimas yra vienas iš pagrindinių 
% projektuotojų uždavinių. Aišku, kad kitas svarbus parametras yra aukštis, kuriame 
% turi būti kreivės viršūnė. Tai daroma prie funkcijos pridedant konstantą $C$, 
% t.y. nagrinėjamas pavidalas:
% 
% $f\left(x\right)=a\cdot \mathrm{cosh}\left(\frac{x}{a}\right)+C$.
% 
% Paprastumo dėlei konstantos $C$ šiame pratime nenagrinėsime.

a = 0.58; % Keiskite čia

x = -1:0.01:1;
y = a*cosh(x/a);
plot(x,y)
%% Hiperbolinis sinusas
% Funkcijos apibrėžimas:
% 
% $\mathrm{sinh}\left(x\right)=\frac{e^x -e^{-x} }{2}$.
% 
% Hiperbolinio sinuso taikymas gali būti susietas su grandininės kreivės lanko 
% ilgio skaičiavimu. Iš tikrųjų, jeigu norime apskaičiuoti grandininės kreivės 
% lanko ilgį $L$ nuo viršūnės taško $\left(0;\;a\right)$ iki kintamo taško $\left(x;\;y\right)$ 
% (galime laikyti, kad $x$ yra teigiamas), tai šis ilgis kinta pagal hiperbolinio 
% sinuso dėsnį, t.y.
% 
% $L\left(x\right)=a\cdot \mathrm{sinh}\left(\frac{x}{a}\right)$,
% 
% čia $\mathrm{sinh}\left(\cdot \right)$ yra hiperbolinio sinuso funkcija.
% 
% Tie iš klausytojų, kas jau išklausė kurso apie integralinį skaičiavimą, turėtų 
% atsiminti kreivės lanko ilgio formulę:
% 
% $L=\int_a^b \sqrt{1+{\left(f\prime \;\left(x\;\right)\right)}^2 }\mathrm{dx}$,
% 
% kurios pagalba ir gautas aukščiau pateitas rezultatas. Būtina paminėti ir 
% svarbų sąryšį tarp dviejų hiperbolinių funkcijų:
% 
% ${\mathrm{cosh}}^2 \left(x\right)-{\mathrm{sinh}}^2 \left(x\right)=1$,
% 
% kuris yra panašus į gerai žinomą nuo mokyklos laikų sąryšį tarp dviejų trigonometrinių 
% funkcijų: ${\mathrm{cos}}^2 \left(x\right)+{\mathrm{sin}}^2 \left(x\right)=1$. 
% Sąryšis tarp hiperbolinių funkcijų taip pat buvo panaudotas aukščiau pateiktai 
% grandininės kreivės lanko ilgio išraiškai gauti.
% 
% Šio kurso klausytojams siūlome panagrinėti funkciją $L\left(x\right)$, kurios 
% apibrėžimą galite matyti aukščiau. Kreivė bus braižoma intervale $x\in \left\lbrack 
% -5;5\right\rbrack$. Parametrą $a$ galite pasirinkti patys ir tokiu būdu matysite, 
% kaip kinta kreivės pavidalas priklausomai nuo šio parametro reikšmės.

% Pastaba (Octave vartotojams) Čia ir toliau į raides nekreipkite dėmesio. Tai yra padaryta, kad vienos
% sekcijos vykdymas nedarytų įtakos kitoms sekcijoms

b = 2; % Keiskite čia
t = -5:0.01:5;

z = b*sinh(t/b);
plot(t,z)
%% Hiperbolinis tangentas
% Funkcijos apibrėžimas:
% 
% $\mathrm{tanh}\left(x\right)=\frac{\mathrm{sinh}\left(x\right)}{\mathrm{cosh}\left(x\right)}=\frac{e^x 
% -e^{-x} }{e^x +e^{-x} }$.
% 
% Šios funkcijos praktinį pritaikymą galima rasti mašinimio mokymosi algoritmuose, 
% pvz., kai reikiaapmokyti neuroninį tinklą atpažinti vaizdus. Tokiu atveju hiperbolinio 
% tangento funkcija gali būti naudojama kaip aktyvacijos funkcija, kuri užtikrina 
% pakankamai greitą neuroninio tinklo apmokymo proceso konvergavimą.
% 
% Tęsdami tradiciją klausytojui siūlome panagrinėti funkciją:
% 
% $f\left(x\right)=a\cdot \mathrm{tanh}\left(\frac{x}{a}\right)$,
% 
% kurios grafikas bus braižomas intervale $x\in \left\lbrack -5;5\right\rbrack$. 
% Parametrą $a$ galite pasirinkti patys ir tokiu būdu matysite, kaip kinta kreivės 
% pavidalas priklausomai nuo šio parametro reikšmės.

c = 1.94; % Keiskite čia

s = -5:0.01:5;

u = c*tanh(s/c);
plot(s,u)
%% Pabandykite patys
%% 
% # Paskaitoje apie trigonometrines funkcijas nagrinėjome apskritimo bei elipsės 
% parametrines išraiškas. Trigonometrines funkcijas pakeiskite į atitinkamas hiperbolines 
% (paprastą kosinusą pakeiskite hiperboliniu, tas pats su sinusu) ir nubraižykite 
% gautas kreives.