%% Interaktyvus pratimas nr. 3. Hiperbolinės funkcijos
% Paskaitoje kalbėjome apie hiperbolinio kosinuso funkciją ir jos savybes. Šiame interaktyviame pratime apžvelgsime ne tik minėtą funkciją, bet ir hiperbolinio sinuso bei tangento funkcijas. Paskutiniųjų dviejų funkcijų pritaikymas nėra toks platus ir yra labiau susijęs su įvairių integralų skaičiavimais bei kitais teoriniais matematiniais pritaikymais. Todėl pradėsime nuo plačiausiai taikomos funkcijos - hiperbolinio kosinuso.
%% Hiperbolinis kosinusas
% Funkcijos apibrėžimas:
% \mathrm{cosh}\left(x\right)=\frac{e^x +e^{-x} }{2}.
% Kaip jau minėjome, hiperbolinio kosinuso kreivė dažnai yra naudojama architektūroje dėl to, kad tai yra natūrali išlenkimo forma, kurioje apkrova pasiskirsto efektyviausiai. Štai tipinis šios kreivės pavyzdys:
%
% Paveiksle matome kaip apversta hiperbolinio kosinuso kreivė palaiko tilto apkrovą, kurią sudaro tilto konstrukcijos, automobiliai ir t.t.
% Lietuvių literatūroje dažniausiai hiperbolinio kosinuso kreivė yra vadinama grandinine kreive. Tiksliau, taip yra vadinamas atskiras hiperbolinio kosinuso kreivės atvejis:
% f\left(x\right)=a\cdot \mathrm{cosh}\left(\frac{x}{a}\right),
% čia \mathrm{cosh}\left(\cdot \right) yra hiperbolinio kosinuso funkcija.
% Šio kurso klausytojams siūlome panagrinėti būtent šį atvejį. Kreivė bus braižoma intervale x\in \left\lbrack -1;1\right\rbrack. Parametrą a galite pasirinkti patys ir tokiu būdu matysite, kaip kinta kreivės pavidalas priklausomai nuo šio parametro reikšmės. Būtent parametro a vertinimas yra vienas iš pagrindinių projektuotojų uždavinių. Aišku, kad kitas svarbus parametras yra aukštis, kuriame turi būti kreivės viršūnė. Tai daroma prie funkcijos pridedant konstantą C, t.y. nagrinėjamas pavidalas:
%  f\left(x\right)=a\cdot \mathrm{cosh}\left(\frac{x}{a}\right)+C.
% Paprastumo dėlei konstantos C šiame pratime nenagrinėsime.

a = 0.58;

x = -1:0.01:1;
y = a*cosh(x/a);
plot(x,y)

%
%% Hiperbolinis sinusas
% Funkcijos apibrėžimas:
% \mathrm{sinh}\left(x\right)=\frac{e^x -e^{-x} }{2}.
% Hiperbolinio sinuso taikymas gali būti susietas su grandininės kreivės lanko ilgio skaičiavimu. Iš tikrųjų, jeigu norime apskaičiuoti grandininės kreivės lanko ilgį L nuo viršūnės taško \left(0;\;a\right) iki kintamo taško \left(x;\;y\right) (galime laikyti, kad x yra teigiamas), tai šis ilgis kinta pagal hiperbolinio sinuso dėsnį, t.y.
% L\left(x\right)=a\cdot \mathrm{sinh}\left(\frac{x}{a}\right),
% čia \mathrm{sinh}\left(\cdot \right) yra hiperbolinio sinuso funkcija.
% Tie iš klausytojų, kas jau išklausė kurso apie integralinį skaičiavimą, turėtų atsiminti kreivės lanko ilgio formulę:
% L=\int_a^b \sqrt{1+{\left(f\prime \;\left(x\;\right)\right)}^2 }\mathrm{dx},
% kurios pagalba ir gautas aukščiau pateitas rezultatas. Būtina paminėti ir svarbų sąryšį tarp dviejų hiperbolinių funkcijų:
% {\mathrm{cosh}}^2 \left(x\right)-{\mathrm{sinh}}^2 \left(x\right)=1,
% kuris yra panašus į gerai žinomą nuo mokyklos laikų sąryšį tarp dviejų trigonometrinių funkcijų: {\mathrm{cos}}^2 \left(x\right)+{\mathrm{sin}}^2 \left(x\right)=1. Sąryšis tarp hiperbolinių funkcijų taip pat buvo panaudotas aukščiau pateiktai grandininės kreivės lanko ilgio išraiškai gauti.
% Šio kurso klausytojams siūlome panagrinėti funkciją L\left(x\right), kurios apibrėžimą galite matyti aukščiau. Kreivė bus braižoma intervale x\in \left\lbrack -5;5\right\rbrack. Parametrą a galite pasirinkti patys ir tokiu būdu matysite, kaip kinta kreivės pavidalas priklausomai nuo šio parametro reikšmės.

b = 2;
t = -5:0.01:5;

z = b*sinh(t/b);
plot(t,z)

%
%% Hiperbolinis tangentas
% Funkcijos apibrėžimas:
% \mathrm{tanh}\left(x\right)=\frac{\mathrm{sinh}\left(x\right)}{\mathrm{cosh}\left(x\right)}=\frac{e^x -e^{-x} }{e^x +e^{-x} }.
% Šios funkcijos praktinį pritaikymą galima rasti mašinimio mokymosi algoritmuose, pvz., kai reikiaapmokyti neuroninį tinklą atpažinti vaizdus. Tokiu atveju hiperbolinio tangento funkcija gali būti naudojama kaip aktyvacijos funkcija, kuri užtikrina pakankamai greitą neuroninio tinklo apmokymo proceso konvergavimą.
% Tęsdami tradiciją klausytojui siūlome panagrinėti funkciją:
% f\left(x\right)=a\cdot \mathrm{tanh}\left(\frac{x}{a}\right),
% kurios grafikas bus braižomas intervale x\in \left\lbrack -5;5\right\rbrack. Parametrą a galite pasirinkti patys ir tokiu būdu matysite, kaip kinta kreivės pavidalas priklausomai nuo šio parametro reikšmės.

c = 1.94;

s = -5:0.01:5;

u = c*tanh(s/c);
plot(s,u)

%% Pabandykite patys
% Paskaitoje apie trigonometrines funkcijas nagrinėjome apskritimo bei elipsės parametrines išraiškas. Trigonometrines funkcijas pakeiskite į atitinkamas hiperbolines (paprastą kosinusą pakeiskite hiperboliniu, tas pats su sinusu) ir nubraižykite gautas kreives.